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Cas pratique

En se basant sur la formule des corps noirs : $$S_{CN}(\lambda,T)=\frac{2\pi hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{k_B T \lambda}}-1} $$ où c = vitesse de la lumière  h = constante de Planck  kB = constante de Boltzmann et sur les donées extraites des fiches de chez Rosco pour les filtres FCTB et HCTB:

Transmission des filtres FCTB (en bleu) et HCTB (en orange)

Pour calculer les CCT de nos spectres génériques, nous utiliserons la méthode polynomiale : Tc = −449n3 + 3525n2 − 6823, 3n + 5520, 33 Avec $n=\frac{x-x_e}{y-y_e}$ et (xe, ye) = (0.3320, 0.1858).

En considérant qu’on part d’une source de type corps noir à 3200 K et que l’on ne garde que les données entre 380 et 740 nm, on peut calculer les CCT dans l’espace CIE XYZ 1931. On obtient le tableau suivant :

Résultats obtenus par calculs comparés aux résultats affichés par Rosco pour différents filtres CTB.
CCT [Rosco] MK−1 [Rosco] CCT [Calculée] MK−1 [Calculé]
HCTB E202 4300 K -78 4319 K −81.0
FCTB E201 5700 K -137 5854 K −141.7
2 x HCTB E202 - - 7055 K −170.7
HCTB R3204 4100 K -68 3856 K −53.1
FCTB R3202 5500 K -131 5477 K −129.9
2 x HCTB R3204 - - 5408 K −127.6
Valeurs des SSI recalculés pour les spectres générés.
SSI Planck55 SSI D55 Perte [Stop]
FCTB E202 69 77 −1.56
2 x HCTB E201 56 64 −1.72
FCTB R3204 80 88 −1.47
2 x HCTB R3202 79 88 −1.88

Plusieurs observations peuvent être faites :

  1. Lorsqu’on utilise la gamme e-colour+, l’utilisation d’un double HCTB est significativement différente d’un simple FCTB.

  2. Pour la gamme Cinegel, on peut considérer que la température finale obtenue est suffisament proche. Par ailleurs le spectre final obtenu (dans les deux cas) obtient un très bon index de similarité spectrale, surtout avec l’illuminant D55.

  3. On ne peut pas additionner les mired-shift pour savoir si cela va fonctionner ou pas. Dans les deux cas : $$\begin{gather*} 2\cdot(-81.0)=-162.0\neq -170.7\\ 2\cdot(-53.1)=-106.2\neq-127,6 \end{gather*}$$

  4. Il est important de noter que la variation d’intensité de lumière sera significative dans tous les cas. Pour la collection Cinegel, on perds presque un demi diaphragme en utilisant le double HCTB.

Spectres génériques obtenus théoriquement sur base des données spectrales des filtres rosco et d’un spectre de corps noir à 3200 K.

Cas théorique

Imaginons qu’il soit possible de créer un filtre FCTB qui efectuerait la transition parfaite d’un d’un spectreà 3200 K à un spectre de 5500 K. Le mired-shift de cette transition vaut −130, 7. La temperature du corps noir dont le mired-shift est la moitié de −130, 7, soit −65, 3, est : T = 4045.98  K

Transmission des filtres idéaux FCTB (en bleu) et HCTB (en orange)

Par l’équation des corps noirs, on peut déduire la valeur du filtre FCTB idéal : $$\begin{align} \frac{S_{CN}(\lambda,5500)}{S_{CN}(\lambda,3200)}&=\frac{\frac{2\pi hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{k_B 5500 \lambda}}-1}}{\frac{2\pi hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{k_B 3200 \lambda}}-1}}\\ T(\lambda)\Bigr|_{FCTB}&=\frac{e^{\frac{hc}{3200\;k_B \lambda}}-1}{e^{\frac{hc}{5500\;k_B \lambda}}-1} \end{align}$$ Imaginons que l’on trouve un filtre qui, s’il est appliqué deux fois d’affilé, fait exactement la même chose qu’un FCTB. Quelle serait la temperature associée au spectre obtenus après 1 seule application ? Autrement dit, que vaut Ti pour que : $$\begin{gather*} \left(T(\lambda)\Bigr|_{HCTB}\right)^2=T(\lambda)\Bigr|_{FCTB}\\[8pt] \left(\frac{e^{\frac{hc}{3200\;k_B \lambda}}-1}{e^{\frac{hc}{T_i\;k_B \lambda}}-1}\right)^2=\frac{e^{\frac{hc}{3200\;k_B \lambda}}-1}{e^{\frac{hc}{5500\;k_B \lambda}}-1} \end{gather*}$$ Sachant, que $\lim_{x\to\infty} \frac{(e^x-1)}{e^x}=1$. Pour des valeurs de α = hc/kBλ ≫ 0, on trouve :
$$\begin{gather*} \left(\frac{e^{\frac{\alpha}{3200}}-1}{e^{\frac{\alpha}{T_i}}-1}\right)^2=\frac{e^{\frac{\alpha}{3200}}-1}{e^{\frac{\alpha}{5500}}-1}\\[10pt] \left(e^{\frac{2\alpha}{T_i}}\right)=\left(e^{\frac{\alpha}{3200}}\right)\left(e^{\frac{a}{5500}}\right)\\[8pt] \frac{2\alpha}{T_i} =\frac{\alpha}{3200}+\frac{\alpha}{5500}\\[8pt] T_i=\frac{2}{\frac{1}{3200}+\frac{1}{5500}}\approx 4045.98\;K \end{gather*}$$

Cela signifie que si on arrivait à créer un filtre idéal qui permettrait de passer de 3200 K à 4046 K (la moitié du mired-shift entre 3200 K et 5500 K), l’application de ce dernier à deux reprise nous amenerait à une température de 5500 K. Comme nous avons fait une approximation, ce ne sera pas exactement le cas. On trouvera plutôt :
CCT(2 × HCTB) = 5526.06 K

Cependant la valeur finale est suffisament proche pour pouvoir dire que cela fonctionne. Le mired-shift du FCTB est de 130,7 MK−1 tandis que le mired-shift de 2 HCTB est de -131,5 MK−1.

Conclusion

Nous ne pouvons pas Tous les calculs effectués ont été faits de façon théorique. Il serait judicieux de vérifier les résultats de façon expérimentale.

TLDR

En pratique, avec des gelatines Rosco Cinegels, on peut dire que :
2  × HCTB = FCTB
Mais, si les gelatines sont abimées, de mauvaise qualité ou de collections différentes, il y a de fortes chances pour que : 2  × HCTB ≠ FCTB
Avec des filtres théoriques idéaux on aurait toujours : 2  × HCTB = FCTB